根号5是无理数吗(三次根号5是无理数吗)

本篇文章给大家谈谈根号5是无理数吗,以及三次根号5是无理数吗对应的知识点,希望对各位有所帮助。

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根号5是无理数吗

根号5是无理数,常用的有2种方法来计算:(1)级数法。利用根号下(1+x)的泰勒展开式。(2)迭代算法。利用迭代公式:x0=a/2,x(n+1)=(xn+a/xn)/2。

证明过程

1、设根号下5不是无理数而是有理数,则设根号下5=p/q(p,q是正整数,且互为质数,即最大公约数是1)。

2、两边平方,5=p^2/q^2, p^2=5q^2(*)。

3、p^2含有因数5,设p=5m,代入(*),25m^2=5q^2, q^2=5m^2,q^2含有因数5,即q有因数5。

4、这样p,q有公因数5,这与假设p,q最大公约数为1矛盾。

5、根号下5=p/q(p,q是正整数,且互为质数,即最大公约数是1)不成立,

所以,根号下5不是有理数而是无理数。

怎么证明根号5是无理数

1、设√5不是无理数而是有理数,则设√5=p/q(p,q是正整数,且互为质数,即最大公约数是1)。

2、两边平方,5=p^2/q^2, p^2=5q^2(*)。

3、p^2含有因数5,设p=5m,代入(*),25m^2=5q^2, q^2=5m^2,q^2含有因数5,即q有因数5。

4、这样p,q有公因数5,这与假设p,q最大公约数为1矛盾。

5、√5=p/q(p,q是正整数,且互为质数,即最大公约数是1)不成立,

所以,√5不是有理数而是无理数。

扩展资料

1、常见的无理数有:圆周长与其直径的比值,欧拉数e,黄金比例φ等。

2、无理数也可以通过非终止的连续分数来处理。

3、无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。有理数由所有分数,整数组成,总能写成整数、有限小数或无限循环小数,并且总能写成两整数之比,如21/7等。

参考资料来源:百度百科-无理数

根号5是无理数吗?求解!!哭求学霸

通俗地说,无理数是不能化为分数的数,

严格地说,无理数就是不能写成两个整数比的数。

用反证法证明√5是无理数。

设√5不是无理数而是有理数,则设√5=p/q(p,q是正整数,且互为质数,即最大公约数是1)

两边平方,5=p^2/q^2, p^2=5q^2(*)

p^2含有因数5,设p=5m

代入(*),25m^2=5q^2, q^2=5m^2

q^2含有因数5,即q有因数5

这样p,q有公因数5,

这与假设p,q最大公约数为1矛盾,

√5=p/q(p,q是正整数,且互为质数,即最大公约数是1)不成立,

√5不是有理数而是无理数。

求证:根号5是无理数

证明:√5是无理数。

设√5不是无理数而是有理数,则设√5=p/q(p,q是正整数,且互为质数,即最大公约数是1。

两边平方,5=p^2/q^2, p^2=5q^2(*)

p^2含有因数5,设p=5m

代入(*),25m^2=5q^2, q^2=5m^2

q^2含有因数5,即q有因数5,这样p,q有公因数5。

这与假设p,q最大公约数为1矛盾, √5=p/q(p,q是正整数,且互为质数,即最大公约数是1)不成立,

所以√5不是有理数而是无理数。

扩展资料:

无理数:

数学中,无理数是所有不是有理数字的实数,后者是由整数的比率(或分数)构成的数字。当两个线段的长度比是无理数时,线段也被描述为不可比较的,这意味着它们不能“测量”,即没有长度(“度量”)。

常见的无理数有:圆周长与其直径的比值,欧拉数e,黄金比例φ等等。

可以看出,无理数在位置数字系统中表示(例如,以十进制数字或任何其他自然基础表示)不会终止,也不会重复,即不包含数字的子序列。例如,数字π的十进制表示从3.141592653589793开始,但没有有限数字的数字可以精确地表示π,也不重复。

必须终止或重复的有理数字的十进制扩展的证据不同于终止或重复的十进制扩展必须是有理数的证据,尽管基本而不冗长,但两种证明都需要一些工作。数学家通常不会把“终止或重复”作为有理数概念的定义。

无理数也可以通过非终止的连续分数来处理。

无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说,无理数就是10进制下的无限不循环小数,如圆周率、√2等。

而有理数由所有分数,整数组成,总能写成整数、有限小数或无限循环小数,并且总能写成两整数之比,如21/7等。

参考资料来源:百度百科-无理数

证明根号5是无理数

通俗地说,无理数是不能化为分数的数,

严格地说,无理数就是不能写成两个整数比的数。

用反证法证明√5是无理数。

设√5不是无理数而是有理数,则设√5=p/q(p,q是正整数,且互为质数,即最大公约数是1)

两边平方,5=p^2/q^2,

p^2=5q^2(*)

p^2含有因数5,设p=5m

代入(*),25m^2=5q^2,

q^2=5m^2

q^2含有因数5,即q有因数5

这样p,q有公因数5,

这与假设p,q最大公约数为1矛盾,

√5=p/q(p,q是正整数,且互为质数,即最大公约数是1)不成立,

√5不是有理数而是无理数。

怎么证明根号5是无理数?

证明:若根号5是有理数,则设根号5=m/n(m、n为不为零的整数,m、n互质)(互质是指若N个整数的最大公因数是1,则称这N个整数互质。

所以

(m/n)^2=根号5

^2

=5

所以

m^2/n^2=5

所以

m^2=5*n^2

所以

m^2是偶数,设m=2k(k是整数)

所以

m^2=10k^2=5n^2

所以

n^2=2k^2

所以

n是偶数

因为

m、n互质

所以

矛盾

所以

根号5不是有理数,它是无理数

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